Линейная зависимость

Линейная зависимость

Лине́йное простра́нство, или ве́кторное простра́нство — основной объект изучения линейной алгебры.

Содержание

Определение

Линейное, или векторное пространство L \left( P \right)  над полем P — это непустое множество L, на котором введены операции

  1. сложения, то есть каждой паре элементов множества \mathbf{x}, \mathbf{y} \in L ставится в соответствие элемент того же множества, обозначаемый  \mathbf{x} + \mathbf{y}  \in L и
  2. умножения на скаляр (то есть элемент поля P), то есть любому элементу \lambda \in P и любому элементу \mathbf{x} \in L ставится в соответствии элемент из L \left( P \right)  , обозначаемый   \lambda\mathbf{x}\in L(P) .

При этом удовлетворяются следующие условия:

  1. \mathbf{x} + \mathbf{y} = \mathbf{y} + \mathbf{x}, для любых \mathbf{x}, \mathbf{y}\in L (коммутативность сложения);
  2. \mathbf{x} + (\mathbf{y} + \mathbf{z}) = (\mathbf{x} + \mathbf{y}) + \mathbf{z}, для любых \mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z} \in L (ассоциативность сложения);
  3. существует такой элемент \theta \in L, что \mathbf{x} + \theta = \mathbf{x} для любого \mathbf{x} \in L (существование нейтрального элемента относительно сложения), в частности L не пусто;
  4. для любого \mathbf{x} \in L существует такой элемент -\mathbf{x} \in L, что \mathbf{x} + (-\mathbf{x}) = \theta (существование противоположного элемента).
  5. \alpha(\beta\mathbf{x}) = (\alpha\beta)\mathbf{x} (ассоциативность умножения на скаляр);
  6. 1\cdot\mathbf{x} = \mathbf{x} (существование нейтрального элемента относительно умножения).
  7. (\alpha + \beta)\mathbf{x} = \alpha \mathbf{x} + \beta \mathbf{x} (дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения);
  8. \alpha(\mathbf{x} + \mathbf{y}) = \alpha \mathbf{x} + \alpha \mathbf{y}(дистрибутивность сложения относительно умножения на скаляр).

Элементы множества L называют векторами, а элементы поля Pскалярами.

Простейшие свойства

  1. Нейтральный элемент \theta \in L является единственным.
  2.  0\cdot\mathbf{x} = \theta для любого \mathbf{x} \in L.
  3. Для любого \mathbf{x} \in L противоположный элемент -\mathbf{x} \in L является единственным.
  4. (-1)\mathbf{x} = -\mathbf{x} для любого \mathbf{x} \in L.
  5. (-\alpha)\mathbf{x} = \alpha(-\mathbf{x}) = -(\alpha\mathbf{x}) для любых \alpha \in P и \mathbf{x} \in L.

Связанные определения и свойства

  • Линейное подпространство или векторное подпространство ― непустое подмножество P линейного пространства L такое, что P само является линейным пространством по отношению к определенным в L действиям сложения и умножения на скаляр.
  • Конечная сумма вида
\alpha_1\mathbf{x}_1 + \alpha_2\mathbf{x}_2 + \ldots + \alpha_n\mathbf{x}_n
называется линейной комбинацией элементов \mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \ldots, \mathbf{x}_n \in L с коэффициентами \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n \in P.
  • Линейная комбинация называется нетривиальной, если хотя бы один из её коэффициентов отличен от нуля.
  • Элементы \mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \ldots, \mathbf{x}_n называются линейно зависимыми, если существует нетривиальная линейная комбинация (1), равная элементу \mathbf{0} \in L. В противном случае эти элементы называются линейно независимыми.
  • Бесконечное подмножество векторов из L называется линейно зависимым, если линейно зависимо его некоторое конечное подмножество, и линейно независимым, если любое его конечное подмножество линейно независимо.
  • Число элементов (мощность) максимального линейно независимого подмножества пространства не зависит от выбора этого подмножества и называется рангом, или размерностью, пространства, а само это подмножество — базисом.
  • Любые n линейно независимых элементов n-мерного пространства образуют базис этого пространства.
  • Любой вектор \mathbf{x} \in L можно представить (единственным образом) в виде конечной линейной комбинации базисных элементов:
\mathbf{x} = \alpha_1\mathbf{x}_1 + \alpha_2\mathbf{x}_2 + \ldots + \alpha_n\mathbf{x}_n.

Примеры

Дополнительные структуры

См. также

Литература

  • Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. изд. МЦНМО, 1998.

Ссылки


Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем написать реферат

Полезное


Смотреть что такое "Линейная зависимость" в других словарях:

  • Линейная зависимость — [linear dependence] «соотношение вида: a1x1 + a2x2 + … + anxn = 0, где a1, a2, …, an числа, из которых хотя бы одно отлично от нуля; x1, x2, …, xn те или иные математические объекты, для которых определены операции сложения …   Экономико-математический словарь

  • ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ — соотношение вида С1u1+С2u2+... +Сnun?0, где С1, С2, ..., Сn числа, из которых хотя бы одно ? 0, а u1, u2, ..., un какие либо математические объекты, напр. векторы или функции …   Большой Энциклопедический словарь

  • линейная зависимость — — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999 г.] Тематики электротехника, основные понятия EN linear dependencelinear relationship …   Справочник технического переводчика

  • линейная зависимость — соотношение вида C1u1 + C2u2 + ... + Cnun = 0, где C1, C2, ..., Cn  числа, из которых хотя бы одно ≠0, а u1, u2, ..., un  какие либо математические объекты, например векторы или функции. * * * ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ,… …   Энциклопедический словарь

  • линейная зависимость — tiesinė priklausomybė statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. linear dependence vok. lineare Abhängigkeit, f rus. линейная зависимость, f pranc. dépendance linéaire, f …   Automatikos terminų žodynas

  • линейная зависимость — tiesinė priklausomybė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. linear dependence vok. lineare Abhängigkeit, f rus. линейная зависимость, f pranc. dépendance linéaire, f …   Fizikos terminų žodynas

  • Линейная зависимость векторов — [vectors linear depen­den­ce]  частный случай по отношению к общему понятию линейной зависимости. Рассмотрим в качестве примера два произвольных ненулевых вектора a и b, принадлежащих векторному пространству V. Если можно подобрать такие не… …   Экономико-математический словарь

  • линейная зависимость векторов — Частный случай по отношению к общему понятию линейной зависимости. Рассмотрим в качестве примера два произвольных ненулевых вектора a и b, принадлежащих векторному пространству V. Если можно подобрать такие не равные нулю числа ? и ?, что ?a + ?b …   Справочник технического переводчика

  • ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ — зависимость между неск. матем. объектами (ф циями, векторами и т. п.), при к рой один из них может быть выражен суммой остальных, взятых с пост. коэфф. (в виде линейной комбинации). Напр., ф ции f1(x) sin2х, f2(x) = 3 cos2(х) и f3(x) = 6 связаны… …   Большой энциклопедический политехнический словарь

  • Линейная зависимость — (матем.)         соотношение вида          C11u1 + C2u2 + ... + Cnun = 0, (*)          где С1, C2, ..., Cn числа, из которых хотя бы одно отлично от нуля, а u1, u2, ..., un те или иные матем. объекты, для которых определены операции сложения и… …   Большая советская энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»