- Характеристика поля
-
Содержание
Определение
Пусть R — произвольное кольцо. Если существует такое целое положительное n, что для каждого выполняется равенство nr = 0, то наименьшее из таких чисел n (скажем, n0) называется характеристикой кольца R, а само R называется кольцом положительной характеристики n0. Если таких чисел не существует, то R называется кольцом характеристики 0.
Характеристика кольца R обозначается символом .
Примеры
- Характеристики кольца целых чисел , поля рациональных чисел , поля вещественных чисел , поля комплексных чисел равны нулю.
- Характеристика кольца вычетов равна n.
- Характеристика конечного поля , где p — простое число, m — положительное целое, равна p.
Свойства
- Если кольцо с единицей и без делителей нуля имеет положительную характеристику n, то n — простое число. Следовательно, характеристика любого поля K есть либо 0, либо простое число p. В первом случае поле K содержит в качестве подполя поле изоморфное полю рациональных чисел , во втором случае поле K содержит в качестве подполя поле изоморфное . В обоих случаях это подполе называется простым полем (содержащимся в K).
- Характеристикой конечного поля является простое число. Заметим, что из того, что характеристика поля конечна, не следует, что поле конечно. Примерами таких полей являются поле рациональных функций над и алгебраическое замыкание поля .
- Если R — коммутативное кольцо простой характеристики p, то для всех , .
Литература
- Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля: В 2-х т. Т. 1. Пер. с англ. — М.: Мир, 1988.
- Кострикин А. И. Введение в алгебру. — М.: Наука, 1977.
- Глухов М. М., Елизаров В. П., Нечаев А. А. Алгебра: Учебник. В 2-х т. Т. 2. — М.: Гелиос АРВ, 2003.
Wikimedia Foundation. 2010.